Pomiędzy długością a powierzchnią

05-07.03.2009 prowadziłem warsztaty p. t. "Pomiędzy długością a powierzchnią: mierzymy wymiar fraktalny" dla szczególnie uzdolnionej młodzieży gimnazjalnej Krajowego Funduszu na rzecz Dzieci (www), w ramach obozu przyrodniczego w Miedzeszynie.

Zanim przestraszysz się wzorków i naukowych pojęć, usiądź w fotelu i zobacz
1/50th of a Light Year z fractalartcontests.com.

Zadania zrobione są z myślą o uczestnikach warsztatów; jeśli jednak nie byłeś, a chcesz je rozwiązać - nie stoi nic na przeszkodzie.

Konspekt warsztatów

• Wykład
  • Po co komu fraktale? (piękno, opis przyrody, grafika w grach)
  • Cechy fraktali (samopodobieństwo, nieskomplikowanie, niecałkowity wymiar)
  • Wymiar pudełkowy
  • Matematyka ($\log_2(x)$, $\mathbb{C}$, $z_n$)
  • Jak powstaje zbiór Mandelbrota?
• I dzień warsztatów
  • Zapoznanie się z programem Mathematica 4.0 (później 7.0)
  • Trójkąt Sierpińskiego z trójkąta Pascala
• II dzień warsztatów
  • Ręczne zliczanie pudełek dla zbioru Apoloniusza
  • Numeryczne wyniki dla fraktali generowanych komputerowo i fraktalopodobnych obiektów

• Literatura
  • H.-O.Petigen, H.Jurgens, D.Saupe, Granice chaosu - fraktale (cz. 1, cz. 2), Warszawa 2002, PWN
  • Stephen Wolfram, A New Kind of Science, Wolfram Media, Inc.
    • Chapter 3: The World of Simple Programs; Section 2: More Cellular Automata
    • Chapter 5: Two Dimensions and Beyond; Section 4: Substitution Systems and Fractals
  • http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension
  • delicious.com/stared/fractal (moje linki o fraktalach)

• Pliki
  • fraktalometr_miedzeszyn2009_beta.zip (funkcje, których używaliśmy)
  • (może tu jeszcze wrzucę eksplorację zbioru Mandelbrota do odczytania w Mathematica Player)

Zadania (dla chętnych)

1. Nawet gdy mierzyliśmy "wymiar"¹ fraktalny kwadratu (który nie wypełniał całej przestrzeni), dla dużych pudełek był on mniejszy od 2. Pokazać, że dla kwadratu o rozmiarze $a\times a$ średnia liczba zapełnionych pudełek (o boku $x$) to
   $k = 1+2\frac{a}{x}+(\frac{a}{x})^2$.
2. Podać prostu sposób przerobienia zbioru Cantora na
   • dywan Sierpińskiego,
   • pył Cantora.
3. Wiesz, że wybrzeże danej wyspy ma wymiar fraktalny $d=1.2$ i jego długość zmierzona z dokładnością 10km to 100km. Jaka jest jego długość, gdy będziemy mierzyli z dokładnością 1km?
4. Jaki jest "wymiar" losowych punktów na płaszczyźnie w zależności od skali? Mamy $1024\times 1024$ pikseli, w każdym z nich osobno może być punkt (z prawdopodobieństwem $p=10^{-3}$). Jeśli 1 to bok całej planszy, to
   • jaka jest średnia $k_{2^{-n}}$ (liczba zapełnionych pudełek dla podziału $2^{-n}$)?
   • ile wynosi "wymiar" fraktalny $d(2^{-n})$ w zależności od $n$?
5. Podać konstrukcję dowolnego fraktala o wymiarze fraktalnym…
   • $d=log_m(n)$ dla $n,m\in\mathbb{N}_+$,
   • $d=\frac{n}{m}$ dla $n,m\in\mathbb{N}_+$,
   • $d \in (0,1)$,
   • $d$ dowolne rzeczywiste nieujemne.
6. Mamy równanie rekurencyjne
   $z_0=0$
   $z_n = z_{n-1}^2 + c$
   dla $c$ zespolonego o długości² $\leq 2$ . Pokazać, że jeśli dla dowolnego wyrazu $|z_n|>2$ to ciąg rozbiegnie do nieskończoności.

Migdał poleca

(wszystkim uczestnikom Miedzeszyna 2009 i nie tylko)

• Set (setgame.com - zasady, gamepixies.com/set - gra)
• xkcd.com (zwłaszcza: 242, 356, 543)
• Funduszowe: kfnrd.wikidot.com i kfnrd.fora.pl
• Nie fraktal, do fraktala podobne, no i fajne:
  • M.C.Escher, Print gallery, 1956 (obraz)
  • Gra w życie Conway'a (np. http://www.math.com/students/wonders/life/life.html)

Zdjęcia

http://piotr.migdal.pl/gallery/main.php?g2_itemId=10534

Kontakt

W razie jakichkolwiek pytań, mailnij!

Footnotes

1. Ilekroć piszę "wymiar" (w cudzysłowiu), mam na myśli $d(x)=\log_2(\frac{k_{x/2}}{k_x})$, gdzie $k_x$ to liczba niepustych pudełek przy podziale na kwadraty $x\times x$.

2. Dla liczby zespolonej $z = x+iy$ długość (lub moduł, promień, wartość bezwzględna) to $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.