Interesujące zadania

Przeczytane bądź zasłyszane zadania, którymi szczególnie chciałbym się podzielić. Nie wszystkie z nich muszą być koniecznie trudne - jednak powinny wymagać "wpadnięcia na coś".

Do niektórych zadań nie mam namiarów - jeśli wie ktoś, skąd dokładnie pochodzą, niech prześle.

Fraktale i samopodobieństwo

Kilka zadań z fraktali i samopodobieństwa na podstronie
Pomiędzy długością a powierzchnią.

Nieprzeliczalny łańcuch?

Czy istnieje nieprzeliczalny łańcuch (porządkowany przez inkluzje) w zbiorze potęgowym liczb naturalnych?
Krótkie przypomnienie pojęć

  • nieprzeliczalny - zawierający więcej elementów, niż jest liczb naturalnych,
  • łańcuch - zbiór elementów, w którym dowolne dwa można porównać ($\leq,\ \geq$),
  • inkluzja - zawieranie ($\subset$),
  • zbiór potęgowy - zbiór wszystkich podzbiorów.

Zadanie najprawdopodobniej znajduję się w [1].

Powierzchnia a średni rzut

Mamy daną bryłę wypukła (w przestrzeni trójwymiarowej). Pokaż, że jej pole powierzchni jest cztery razy większe, niż średnie pole powierzchni jej rzutu prostopadłego.
Zadanie najprawdopodobniej znajduję się w [2].

Czy zbiega do zera?

Mamy pewną funkcję $f:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}_+$, taką że dla każdego $c$ dodatniego

(1)
\begin{align} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f({\textstyle\frac{c}{n}})=0 \end{align}

(granica po $n$-ach całkowitych dodatnich). Czy z tego już wynika, że granicą funkcji $f$ w zerze jest zero?
Miałem na ćwiczeniach z Analizy u M. Kuczmy. Być może z jakiegoś zbiorku.

of52et3t1.jpg

Dwie półkule

Dwie półkule, o promieniach R, wykonane z izolatora, naładowano równomiernie ładunkami o gęstościach objętościowych $\rho_1$ i $\rho_2$ i zbliżono do siebie na bardzo niewielką odległość - rysunek 1.
Oblicz siłę wzajemnego oddziaływania tych półkul.
Zadanie pochodzi z [3].

Bibliography
1. J. Banaś, St. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej,
Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004.
2. Sherman K. Stein, Potęga liczb, Amber, 1998.
3. LII Olimpiada Fizyczna: Finał: Zadanie T1, Warszawa 2003, dostępne na: http://www.kgof.edu.pl
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 License